ProgrammaNozioni Preliminari
Insiemi: relazione di appartenenza. Sottoinsiemi, insieme delle parti, insieme vuoto. Operazioni con insiemi: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementare. Insiemi dati per elencazione, per proprietà caratteristica. Diagrammi di Eulero–Venn. Connettivi e quantificatori.
Prodotto cartesiano di due o piú insiemi.
Applicazioni e funzioni fra insiemi. Definizione euristica e formale. Dominio e campo di definizione, Condominio e immagine. Immagine e controimmagine di un elemento e di un insieme. Iniettivita`, surgettivita`, bigettivita`. Composizione fra applicazioni. Funzione inversa.
Insiemi numerici. Polinomi. Equazioni e disequazioni
Insiemi numerici (N, Z, Q, R, C) e loro proprietà principali.
Operazioni, chiusura rispetto alle operazioni. Proprietà delle operazioni: proprietà commutativa ed associativa di addizione e moltiplicazione, proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Opposto e reciproco. Elementi neutri. Valore assoluto.
Ordinamento totale degli insiemi N, Z, Q, R. Compatibilità dell'ordine con le operazioni.
Proprietà dei numeri reali: la completezza. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo. Intervalli, dischi e intorni.
Polinomi. Operazioni sui polinomi, potenze. Radici di polinomi di primo e secondo grado. Equazioni e disequazioni polinomiali e col valore assoluto, razionali e irrazionali.
Geometria della retta e del piano.
Numeri reali e geometria della retta.
Geometria del piano cartesiano. Distanza fra due punti del piano cartesiano.
Rappresentazione analitica di rette, di circonferenze e di coniche (in forma canonica). Condizioni di parallelismo e di perpedicolarità di due rette. Distanza di un punto da una retta. Intersezioni e tangenza fra rette e coniche. Vertici, fuochi ed eventuali asintoti di coniche.
Sistemi lineari, matrici e vettori.
Sistemi di equazioni lineari: metodi elementari di risoluzione. Metodo di Cramer e metodo di Gauss.
Matrici quadrate, rettangolari e vettori riga o colonna. Operazioni tra matrici e vettori. Determinanti e rango di una matrice. Teorema di Rouche`-Capelli per sistemi lineari.
Vettori in R^2 ed R^3: operazioni tra vettori. Prodotto scalare. Prodotto vettore. Parallelismo e ortogonalita`.Lineare indipendenza di un sistema di vettori. Cenno al concetto di base.
Funzioni reali di variabile reale
Grafici delle funzioni elementari. Funzione identica, funzioni costanti, funzioni lineari e affini, potenze con esponente fissato y = x^a, valore assoluto, segno, parte intera, parte frazionaria. Funzioni polinomiali. Funzioni esponenziale e logaritmo e loro grafici. Proprietà delle potenze. Funzione esponenziale: i casi a > 1 ed aÎ (0,1). La funzione logaritmo come inversa dell'esponenziale.
Definizione, proprietà e grafici delle funzioni goniometriche elementari. Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni circolari, loro grafici e proprietà.
Interpretazione grafica di iniettivita` e surgettivita, della composizione di funzioni e della funzione inversa. Funzioni monotòne, strettamente monotòne. Funzioni pari, dispari. Inversa di una funzione monotòna. Monotonia delle potenze.
Equazioni e disequazioni con le funzioni esponenziale e logaritmo e con le funzioni goniometriche
Limiti di funzioni e Funzioni Continue
Derivato del campo di definizione di una funzione.. Limiti agli estremi del dominio.
Funzioni continue in un punto, in un insieme. Definizione di limite. Teoremi dell'unicità del limite e della permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue. Esistenza del limite per funzioni monotòne. Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Bolzano–Weierstrass.
Forme indeterminate e limiti notevoli.
Calcolo differenziale e Studi di Funzione
Rapporto incrementale, derivata in un punto. Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente. Relazione fra derivabilità e continuità. Funzione derivata. Derivata di somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate (Rolle, Lagrange, Cauchy).
Segno della derivata e monotonia.
Studio di funzioni. Problemi di massimo e minimo. Concavità e convessità. Derivata seconda e punti di flesso.
Teorema di de l'Hôpital. Applicazione al calcolo dei limiti.
Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teorema di Taylor e formula di Taylor con resto.
Calcolo Integrale
Aree e misura. Il problema inverso della derivazione.
Integrale di Cauchy per funzioni di una variabile reale. Condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilità.
Integrabilità delle funzioni monotòne e delle funzioni continue.
Funzione integrale. Proprietà: additività e monotonia. Media di una funzione continua. Teorema della Media.
Insieme delle primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione integrale e aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi di integrazione: decomposizione in somma, sostituzione, parti. |
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